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Mes dessins suite

16 Mars 2022

Le nombre de visite : Polyclète est un sculpteur grec du premier classicisme ( v e siècle av. J.-C. ), l'un des plus connus du monde antique. Il inspirera après la redécouverte de son œuvre tout l'art occidental, posant les bases de l'art classique 1...

REGRESSION DE COX

7 Mars 2022

Le nombre de visite : La régression de Cox (modèle à risque proportionnel) — nommée ainsi d'après le statisticien britannique David Cox — est une classe de modèles de survie en statistique. Les modèles de survie étudient le temps écoulé avant qu'un événement...

Le cinéma est un art

28 Décembre 2021

Le nombre de visite : Le cinéma est un art du spectacle. En français, il est désigné comme le « septième art », d'après l'expression du critique Ricciotto Canudo dans les années 1920 [1] . L’art cinématographique se caractérise par le spectacle proposé...

La bande dessinée de Wikipedia

24 Décembre 2021

Le nombre de visite : I Une bande dessinée (dénomination communément abrégée en BD ou en bédé) est une forme d'expression artistique, souvent désignée comme le « neuvième art », utilisant une juxtaposition de dessins (ou d'autres types d'images fixes,...

Mes dessins

18 Décembre 2021

Le nombre de visite : Jean Cocteau, né le 5 juillet 1889 à Maisons-Laffitte et mort le 11 octobre 1963 à Milly-la-Forêt, est un poète, peintre, dessinateur, dramaturge et cinéaste français. Élu à l'Académie française en 1955 et comptant parmi les artistes...

Suite de la cartographie en Usa

18 Décembre 2021

Le nombre de visite : Les états des états unis : Niveau 0 une simple carte des états unis : Niveau 0 library(raster) adm_fr <- getData('GADM', country='usa', level=0) plot(adm_fr) Niveau 1 library(raster) adm_fr <- getData('GADM', country='usa', level=1)...

Cartographie sous R de la Guadeloupe

17 Décembre 2021

Le nombre de visite : 1- Charger des données en ligne a partir d'une simple commande R Des traces nombreuses données pour être charger dans R avec une simple commande grâce a la librairie raster. Etape 01 - Charger/Installer la librairie raster install.packages("raster");library(raster)...

Le design

15 Décembre 2021

Le nombre de visite : Le design [1] ou stylisme [2] est une activité de création souvent à vocation industrielle ou commerciale, pouvant s’orienter vers les milieux sociaux, politiques, scientifiques et environnementaux. Le but premier du design est d’inventer,...

Suite de la cartographie en Algérie.

14 Décembre 2021

Le nombre de visite : Suite de la cartographie sous R Il suffit de recopier le texte ci-dessous tel quel et voir le résultat dans l'éditeur R Départements d'Algérie 1- Charger des données en ligne a partir d'une simple commande R Des traces nombreuses...

Les courbes fractales sous Matlab

10 Décembre 2021

Différentes fractales Le "père" des fractales est le mathématicien franco-américain Benoit Mandelbrot, né en Pologne en 1924, émigré en France en 1936, puis aux Etats-Unis après ses études supérieures à Paris. Un certain nombre de fractales avait cependant...

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Expression fonctionnelle entre le nombre d’or et la suite de Fibonacci:Modifier

Le calcul du $n$ -ième terme de la suite de Fibonacci via la formule de récurrence requiert le calcul des termes précédents. Au contraire, une expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci est une expression où le calcul du $n$ -ième terme ne présuppose pas la connaissance des termes précédents. Binet a redécouvert une formule en 1843^{[réf. nécessaire]}, qui avait déjà été obtenue par de Moivre^{[réf. nécessaire]} en 1718 et par Euler en 1765^[4]. Cette expression fonctionnelle s'appelle la formule de Binet :

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\varphi ^{n}-\varphi '^{n}),\qquad {\text{avec}}\qquad \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad {\text{et}}\qquad \varphi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-{\frac {1}{\varphi }}.

Démonstration

Comme la suite de Fibonacci est linéairement récurrente d’ordre 2, son équation caractéristique est une équation du second degré :

x^{2}-x-1=0

dont les deux solutions sont :

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad {\text{et}}\qquad \varphi '=-{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}

où $φ$ est le nombre d'or. Les suites $(φ n)$ et $(φ' n)$ engendrent alors l'espace vectoriel des suites vérifiant $u n + 2 = u n + 1 + u n$ . Il en résulte que :

F_{n}=\alpha {}\varphi ^{n}+\beta \varphi '^{n}

F_{0}

F_1

Les conditions initiales $F_{0}=0$ et $F_{1}=1$ conduisent au système suivant :

\left\{{\begin{matrix}\alpha +\beta =0\\\alpha -\beta ={\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{matrix}}\right.

On obtient alors :

\alpha ={\frac {1}{\sqrt {5}}}\qquad {\text{et}}\qquad \beta =-{\frac {1}{\sqrt {5}}}.

Nous obtenons finalement l'expression fonctionnelle recherchée.

(Ces calculs restent valables pour $n$ entier négatif quand la suite est prolongée comme ci-dessous.)

Quand $n$ tend vers $+\infty$ , $F_{n}$ est équivalent à ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ . Plus précisément, $φ n$ tend vers l'infini et $φ' n$ tend vers zéro car $|\varphi '|<1<\varphi$ .

La suite de Fibonacci comme limite d une fraction du nombre d’or

(Ces calculs restent valables pour $n$ entier négatif quand la suite est prolongée comme ci-dessous.)

Quand $n$ tend vers $+\infty$ , $F_{n}$ est équivalent à ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ . Plus précisément, $φ n$ tend vers l'infini et $φ' n$ tend vers zéro car $|\varphi '|<1<\varphi$ .

En fait, dès le rang $n = 1$ , le deuxième terme ${\varphi '^{n} \over {\sqrt {5}}}$ est assez petit pour que les nombres de Fibonacci puissent être obtenus uniquement à partir du premier terme :

F_{n}

Est l’entier le plus proche de

{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}

Comme l'avait déjà remarqué Johannes Kepler^[6], le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c'est-à-dire ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ , converge vers le nombre d'or $φ$ .

En effet, puisque la suite $F_{n}$ est équivalente à ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ (cf. supra, section Expression fonctionnelle), la suite ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ est équivalente à ${\frac {\frac {\varphi ^{n+1}}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}=\varphi ,$ qui est donc sa limite.

La suite de Fibonacci et les matrices :

Il existe d'autres démonstrations de la formule de Binet, telles que la transformation en Z et la technique des fonctions génératrices.

Remarquons qu'une fois découverte, cette formule se démontre aussi par récurrence (y compris pour $n$ entier négatif).

un autre manière de défit la suite de Finobacci matricielle ment est la suivante :

On a la relation de récurrence suivante : ${\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F_{n-1}\\F_{n}\end{pmatrix}}$ et donc ${\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}F_{0}\\F_{1}\end{pmatrix}}$

Plusieurs formules existent notamment celle des nombres de Lucas ou par leur fonction génératrice :

Série génératriceModifier

La série génératrice de la suite de Fibonacci donne une série entière dont le rayon de convergence vaut 1/ $φ$ (d'après le théorème de Cauchy-Hadamard ou plus simplement, la règle de d'Alembert). Pour tout complexe z de module strictement inférieur à $1/ φ$ , la sériecorrespondante (absolument convergente) est égale à : $\sum _{n\in \mathbb {N} }F_{n}z^{n}={\frac {z}{1-z-z^{2}}}$

(donc à $z\sum _{m\in \mathbb {N} }(z+z^{2})^{m}=\sum _{m,k\in \mathbb {N} }{m \choose k}z^{1+m+k}$ , où les coefficients binomiaux $m \choose k$ sont nuls pour $k > m$ ).

Le triangle de Pascal et la suite de Fibonacci :

Propriété : $\forall n\in \mathbb {N} ,~F_{n}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{n-1-k \choose k}$ (somme finie car les coefficients binomiaux ${n-1-k \choose k}$ sont nuls si $k < 0$ ou si $k > n - 1 - k$ ).

Cette propriété se déduit immédiatement de l'expression de la série génératrice (voir supra). On peut aussi la démontrer par une récurrence d'ordre 2 sur $n$ .

ce qui signifie que dans Cela signifie que, dans un triangle de Pascal, les nombres de Fibonacci s'obtiennent en sommant les termes situés sur une diagonale (du bas vers la droite)

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