Suite de la cartographie en Algérie.

14 Décembre 2021

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Suite de la cartographie sous R

Il suffit de recopier le texte ci-dessous tel quel et voir le résultat dans l'éditeur R

Départements d'Algérie

1- Charger des données en ligne a partir d'une simple commande R
Des traces nombreuses données pour être charger dans R avec une simple commande grâce a la librairie raster.
Etape 01 - Charger/Installer la librairie raster
install.packages("raster");library(raster)
Etape 02 - Charger les donnéoes de son choix
adm_fr <- getData('GADM', country='DZA', level=2)
# GADM indique que je veux des contours administratifs
# dza est le code de l'Algérie*
# level est le niveau de résolution (1 : carte des régions - 2 : départements - 3 : communes)
Etape 03 - Je trace la carte
plot(adm_fr)
bbox(adm_fr) # Dimensions de la carte

Niveau 0
library(raster)
adm_fr <- getData('GADM', country='DZA', level=0)
plot(adm_fr)

Niveau 1
library(raster)
adm_fr <- getData('GADM', country='DZA', level=1)
plot(adm_fr)

Niveau 2
library(raster)
adm_fr <- getData('GADM', country='DZA', level=2)
plot(adm_fr)

Réoduire la zone affichéoe avec des limites de longitude et latitude
library(raster)
adm_fr <- getData('GADM', country='DZA', level=1)
plot(adm_fr);box()

N'afficher qu'une aire en l'appelant par son nom
library(raster)
adm_fr <- getData('GADM', country='DZA', level=1)
cat("Liste des réogions : \n")
adm_fr$NAME_1
plot(adm_fr[adm_fr$NAME_1=="Saïda",], lwd=2,border="#900C3F");box()

Séolectionner les zones a afficher et colorer
library(raster)
adm_fr <- getData('GADM', country='DZA', level=2)
cat("Liste des déopartements : \n")
adm_fr$NAME_2
plot(adm_fr[adm_fr$NAME_1=="Adrar",],lwd=2);box()
plot(adm_fr[adm_fr$NAME_2=="Dordogne",],add=T,col="#FCFC9C");box()
Remarque : si je veux plusieurs réogions, je peux utiliser l'éocriture %in%.

library(raster)
adm <- getData('GADM', country='DZA', level=1)
carte1 <- adm[adm$NAME_1 %in% c("Laghouat","Saïda"),]
plot(carte1)

a‰tape 1 - Tracer un fond bleu "marin"

a‰tape 2 - Tracer un contours littoral

a‰tape 3 - Remplir les terres

# ETAPE 0 - Chargement des donnéoes
library(raster)
adm_gr <- getData('GADM', country='DZA', level=1)
# Limiter la réogion chargéoe pour réoduire le temps d'affichage
adm <- adm_gr[match(toupper(adm_gr$NAME_1[7]),toupper(adm_gr$NAME_1)),]# Péoloponna¨se
# a‰tape 1 - Tracer un fond bleu "marin"
plot.new()
par(mar=c(4,4,3,4),bg="transparent") # déofinition des marges
# on préo-trace la carte pour programmer ses limites d'affichage automatiquement
plot(adm,col="white",border="white",lwd=50) ; box()
# FOND DE MER : tracéo simple d'un polygone
polygon(x = c(20, 30, 30, 20, 20), y = c(-10, -10, 50, 50, -10), col = "#bbe6fb", border = "transparent")
# a‰tape 2 - Tracer un contours littoral
plot(adm,col="white",border="#34bdf2",lwd=7,add=T)
a‰tape 3 - Remplir les terres
plot(adm, col="#FAFAB1", border="grey", lwd=1,add=T)
Un exemple simple de carte d'un pays du monde
Carte de l'UK conforme a la ra¨gle TOLE (Titre, Orientation, légende, Echelle)

Mots clefs : cartographique - carte R project - monde- contours des départements - longitude - latitude - points - trajet - légende - texte - rosace- ville

Et pour réaliser une carte complète du monde ?
library(raster)
WorldMap <- getData('countries')
plot(WorldMap)

La carte ainsi est de traces haute définition... donc longue a produire.

Il est aussi possible de faire vite-fait des cartes de qualité moindre mais plus rapides à afficher...

2- Indiquer un point sur la carte en précisant sa longueur et sa latitude

Indiquer un point par un couple de valeurs longitude/latitude
library(raster)
adm_fr <- getData('GADM', country='dza', level=1)
plot(adm_fr,lwd=0.5, border="grey", col="#DFFAB1", bg="black");box()
points(0,44, col="red", pch=16, cex=2)

Pleins de types de points, de tailles et de couleurs
plot(adm_fr,lwd=0.5, border="yellow", col="#FFFAB1", bg="#00000000",box=F)
# On va génaérer 15 points aléatoire
nb_pt = 15
longitudes = rnorm(nb_pt,2,2)
latitudes = rnorm(nb_pt,46,2)
# et 15 couleurs
liste_colors <- c("blue","green","red")
colfunc<-colorRampPalette(liste_colors,interpolate="spline")
colors <- colfunc(nb_pt)
# On trace
points(longitudes,latitudes, col=colors, pch=c(8:18), cex=c((1:10)/2),lwd=2)

Des spha¨res de tailles variables
plot(adm_fr,lwd=0.5, border="green", col="#AAAAFF", bg="#00000000",box=F)
latitude = rnorm(10,44,3)
longitude = rnorm(10,1,3)
lat <- latitude[order(rayons, decreasing = TRUE)]
long <- longitude[order(rayons, decreasing = TRUE)]
ray <- rayons[order(rayons, decreasing = TRUE)]
# Tracer les disques rouges transparents
couleur =rgb(red=(243/255), green=(105/255), blue=0, alpha=0.8)
symbols(long,lat, circles = ray, add = TRUE, bg = couleur, inches = FALSE)
text(longitude,latitude,correspondants,cex=(rayons*1.5))

légender des points spéociaux (taille)
Coloriser les points selon une variable (3a¨me dimension)
adm <- getData("GADM",country="DZA",level=1)
# Simuler des points sur la carte
bbox(adm)-> xy1
x <- rnorm(100,mean(xy1[1,]),2)
y <- rnorm(100,mean(xy1[2,]))
dim <- round(x+y,0) # Dim serait une valeur associéoe a chaque point (ici on additionne long et lat, ce qui n'a pas de sens...
# Déocouper les
cut(dim,breaks=10)->niveau
colfunc <- colorRampPalette(c("white","red","black"))
colors<- colfunc(10) %>% .[as.numeric(niveau)]
plot(adm)
points(x,y,col=colors,pch=16,cex=2)
legend(x="topleft",legend = levels(niveau), cex=0.8,fill=colfunc(10),bty="n")

3- Indiquer quelques informations de base en cartographie
Lorsqu'on rélise une carte, il faut toujours respecter la ra¨gle TOLE (Titre, Orientation, légende, a‰chelle)

1- Afficher le nord ga©ographique
La fonction northarrow() réocupéoréoe sur le web (source inconnue) permet d'ajouter le nord géographique. Il faut la copier-coller.

# FONCTION POUR LA ROSACE DU NORD
northarrow <- function(loc, size, bearing = 0, cex = 1) {
# =========================================
cols <- rep(c("white", "black"), 8)
# Coordonnees des polygones de la rose des vents
radii <- rep(size/c(1, 4, 2, 4), 4) ; x <- radii[(0:15) + 1] * cos((0:15) * pi/8 + bearing) + loc[1]
y <- radii[(0:15) + 1] * sin((0:15) * pi/8 + bearing) + loc[2]
# Trace des polygones
for (i in 1:15) {
x1 <- c(x[i], x[i + 1], loc[1]) ; y1 <- c(y[i], y[i + 1], loc[2]) ; polygon(x1, y1, col = cols[i])
}
# Trace du dernier polygone
x1 <- c(x[16], x[1], loc[1]) ; y1 <- c(y[16], y[1], loc[2]) ; polygon(x1, y1, col = cols[16])
# Rajout des lettres
b <- c("E", "N", "O", "S")
for (i in 0:3) {
text((size + par("cxy")[1]) * cos(bearing + i * pi/2) + loc[1], (size + par("cxy")[2]) * sin(bearing + i * pi/2) + loc[2],
b[i + 1], cex = cex)
} }
library(raster)
adm_fr <- getData('GADM', country='DZA', level=1)
plot(adm_fr,lwd=0.5, border="grey", col="#AAAAAA", bg="white",box=F)
points(0,44, col="red", pch=16, cex=2)
northarrow(loc = c(-3, 45), size = 1, cex = 2)
Et pour l'afficher manuellement en cliquant sur la carte ?

# NORD GEOGRAPHIQUE
# loc = c(longitude, latitude)
# size = la taille de l'indication
cat("Cliquer la oa¹ vous voulez la rosace du nord");l = locator(n=1)
northarrow(loc = c(l$x,l$y), size = 1, cex =2)

2- Afficher la barre d'échelle
La librairie raster contient une fonction pour afficher des barres d'échelle : scalebar().

plot(adm_fr,lwd=0.5, border="grey", col="#AAAAAA", bg="white",box=F)
points(0,44, col="red", pch=16, cex=2)
scalebar(d = 200, xy = c(5,42), type = "bar", below = "km",lwd = 5, divs = 2, col = "black", cex = 1, lonlat = T)

3- Afficher la légende

library(raster)
adm_fr <- getData('GADM', country='DZA', level=1)
plot(adm_fr));box()
adm_fr$NAME_1
plot(adm_fr[adm_fr$NAME_1=="Saïda",], lwd=2,border="#900C3F",col="orange",add=T);box()
plot(adm_fr[adm_fr$NAME_1=="Adrar",], lwd=2,border="#900C3F",col="#900C3F",add=T);box()
legend(x="topleft", legend=c("Adrar","LAGHOUAT"), cex=0.8,fill=c("orange","#900C3F"),bty="n")

Les courbes fractales sous Matlab

Le design

Expression fonctionnelle entre le nombre d’or et la suite de Fibonacci:Modifier

Le calcul du $n$ -ième terme de la suite de Fibonacci via la formule de récurrence requiert le calcul des termes précédents. Au contraire, une expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci est une expression où le calcul du $n$ -ième terme ne présuppose pas la connaissance des termes précédents. Binet a redécouvert une formule en 1843^{[réf. nécessaire]}, qui avait déjà été obtenue par de Moivre^{[réf. nécessaire]} en 1718 et par Euler en 1765^[4]. Cette expression fonctionnelle s'appelle la formule de Binet :

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\varphi ^{n}-\varphi '^{n}),\qquad {\text{avec}}\qquad \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad {\text{et}}\qquad \varphi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-{\frac {1}{\varphi }}.

Démonstration

Comme la suite de Fibonacci est linéairement récurrente d’ordre 2, son équation caractéristique est une équation du second degré :

x^{2}-x-1=0

dont les deux solutions sont :

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad {\text{et}}\qquad \varphi '=-{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}

où $φ$ est le nombre d'or. Les suites $(φ n)$ et $(φ' n)$ engendrent alors l'espace vectoriel des suites vérifiant $u n + 2 = u n + 1 + u n$ . Il en résulte que :

F_{n}=\alpha {}\varphi ^{n}+\beta \varphi '^{n}

F_{0}

F_1

Les conditions initiales $F_{0}=0$ et $F_{1}=1$ conduisent au système suivant :

\left\{{\begin{matrix}\alpha +\beta =0\\\alpha -\beta ={\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{matrix}}\right.

On obtient alors :

\alpha ={\frac {1}{\sqrt {5}}}\qquad {\text{et}}\qquad \beta =-{\frac {1}{\sqrt {5}}}.

Nous obtenons finalement l'expression fonctionnelle recherchée.

(Ces calculs restent valables pour $n$ entier négatif quand la suite est prolongée comme ci-dessous.)

Quand $n$ tend vers $+\infty$ , $F_{n}$ est équivalent à ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ . Plus précisément, $φ n$ tend vers l'infini et $φ' n$ tend vers zéro car $|\varphi '|<1<\varphi$ .

La suite de Fibonacci comme limite d une fraction du nombre d’or

(Ces calculs restent valables pour $n$ entier négatif quand la suite est prolongée comme ci-dessous.)

Quand $n$ tend vers $+\infty$ , $F_{n}$ est équivalent à ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ . Plus précisément, $φ n$ tend vers l'infini et $φ' n$ tend vers zéro car $|\varphi '|<1<\varphi$ .

En fait, dès le rang $n = 1$ , le deuxième terme ${\varphi '^{n} \over {\sqrt {5}}}$ est assez petit pour que les nombres de Fibonacci puissent être obtenus uniquement à partir du premier terme :

F_{n}

Est l’entier le plus proche de

{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}

Comme l'avait déjà remarqué Johannes Kepler^[6], le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c'est-à-dire ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ , converge vers le nombre d'or $φ$ .

En effet, puisque la suite $F_{n}$ est équivalente à ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ (cf. supra, section Expression fonctionnelle), la suite ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ est équivalente à ${\frac {\frac {\varphi ^{n+1}}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}=\varphi ,$ qui est donc sa limite.

La suite de Fibonacci et les matrices :

Il existe d'autres démonstrations de la formule de Binet, telles que la transformation en Z et la technique des fonctions génératrices.

Remarquons qu'une fois découverte, cette formule se démontre aussi par récurrence (y compris pour $n$ entier négatif).

un autre manière de défit la suite de Finobacci matricielle ment est la suivante :

On a la relation de récurrence suivante : ${\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F_{n-1}\\F_{n}\end{pmatrix}}$ et donc ${\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}F_{0}\\F_{1}\end{pmatrix}}$

Plusieurs formules existent notamment celle des nombres de Lucas ou par leur fonction génératrice :

Série génératriceModifier

La série génératrice de la suite de Fibonacci donne une série entière dont le rayon de convergence vaut 1/ $φ$ (d'après le théorème de Cauchy-Hadamard ou plus simplement, la règle de d'Alembert). Pour tout complexe z de module strictement inférieur à $1/ φ$ , la sériecorrespondante (absolument convergente) est égale à : $\sum _{n\in \mathbb {N} }F_{n}z^{n}={\frac {z}{1-z-z^{2}}}$

(donc à $z\sum _{m\in \mathbb {N} }(z+z^{2})^{m}=\sum _{m,k\in \mathbb {N} }{m \choose k}z^{1+m+k}$ , où les coefficients binomiaux $m \choose k$ sont nuls pour $k > m$ ).

Le triangle de Pascal et la suite de Fibonacci :

Propriété : $\forall n\in \mathbb {N} ,~F_{n}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{n-1-k \choose k}$ (somme finie car les coefficients binomiaux ${n-1-k \choose k}$ sont nuls si $k < 0$ ou si $k > n - 1 - k$ ).

Cette propriété se déduit immédiatement de l'expression de la série génératrice (voir supra). On peut aussi la démontrer par une récurrence d'ordre 2 sur $n$ .

ce qui signifie que dans Cela signifie que, dans un triangle de Pascal, les nombres de Fibonacci s'obtiennent en sommant les termes situés sur une diagonale (du bas vers la droite)

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