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Expression fonctionnelle entre le nombre d’or et la suite de Fibonacci:Modifier

Le calcul du $n$ -ième terme de la suite de Fibonacci via la formule de récurrence requiert le calcul des termes précédents. Au contraire, une expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci est une expression où le calcul du $n$ -ième terme ne présuppose pas la connaissance des termes précédents. Binet a redécouvert une formule en 1843^{[réf. nécessaire]}, qui avait déjà été obtenue par de Moivre^{[réf. nécessaire]} en 1718 et par Euler en 1765^[4]. Cette expression fonctionnelle s'appelle la formule de Binet :

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\varphi ^{n}-\varphi '^{n}),\qquad {\text{avec}}\qquad \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad {\text{et}}\qquad \varphi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-{\frac {1}{\varphi }}.

Démonstration

Comme la suite de Fibonacci est linéairement récurrente d’ordre 2, son équation caractéristique est une équation du second degré :

x^{2}-x-1=0

dont les deux solutions sont :

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad {\text{et}}\qquad \varphi '=-{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}

où $φ$ est le nombre d'or. Les suites $(φ n)$ et $(φ' n)$ engendrent alors l'espace vectoriel des suites vérifiant $u n + 2 = u n + 1 + u n$ . Il en résulte que :

F_{n}=\alpha {}\varphi ^{n}+\beta \varphi '^{n}

F_{0}

F_1

Les conditions initiales $F_{0}=0$ et $F_{1}=1$ conduisent au système suivant :

\left\{{\begin{matrix}\alpha +\beta =0\\\alpha -\beta ={\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{matrix}}\right.

On obtient alors :

\alpha ={\frac {1}{\sqrt {5}}}\qquad {\text{et}}\qquad \beta =-{\frac {1}{\sqrt {5}}}.

Nous obtenons finalement l'expression fonctionnelle recherchée.

(Ces calculs restent valables pour $n$ entier négatif quand la suite est prolongée comme ci-dessous.)

Quand $n$ tend vers $+\infty$ , $F_{n}$ est équivalent à ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ . Plus précisément, $φ n$ tend vers l'infini et $φ' n$ tend vers zéro car $|\varphi '|<1<\varphi$ .

La suite de Fibonacci comme limite d une fraction du nombre d’or

(Ces calculs restent valables pour $n$ entier négatif quand la suite est prolongée comme ci-dessous.)

Quand $n$ tend vers $+\infty$ , $F_{n}$ est équivalent à ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ . Plus précisément, $φ n$ tend vers l'infini et $φ' n$ tend vers zéro car $|\varphi '|<1<\varphi$ .

En fait, dès le rang $n = 1$ , le deuxième terme ${\varphi '^{n} \over {\sqrt {5}}}$ est assez petit pour que les nombres de Fibonacci puissent être obtenus uniquement à partir du premier terme :

F_{n}

Est l’entier le plus proche de

{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}

Comme l'avait déjà remarqué Johannes Kepler^[6], le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c'est-à-dire ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ , converge vers le nombre d'or $φ$ .

En effet, puisque la suite $F_{n}$ est équivalente à ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ (cf. supra, section Expression fonctionnelle), la suite ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ est équivalente à ${\frac {\frac {\varphi ^{n+1}}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}=\varphi ,$ qui est donc sa limite.

La suite de Fibonacci et les matrices :

Il existe d'autres démonstrations de la formule de Binet, telles que la transformation en Z et la technique des fonctions génératrices.

Remarquons qu'une fois découverte, cette formule se démontre aussi par récurrence (y compris pour $n$ entier négatif).

un autre manière de défit la suite de Finobacci matricielle ment est la suivante :

On a la relation de récurrence suivante : ${\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F_{n-1}\\F_{n}\end{pmatrix}}$ et donc ${\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}F_{0}\\F_{1}\end{pmatrix}}$

Plusieurs formules existent notamment celle des nombres de Lucas ou par leur fonction génératrice :

Série génératriceModifier

La série génératrice de la suite de Fibonacci donne une série entière dont le rayon de convergence vaut 1/ $φ$ (d'après le théorème de Cauchy-Hadamard ou plus simplement, la règle de d'Alembert). Pour tout complexe z de module strictement inférieur à $1/ φ$ , la sériecorrespondante (absolument convergente) est égale à : $\sum _{n\in \mathbb {N} }F_{n}z^{n}={\frac {z}{1-z-z^{2}}}$

(donc à $z\sum _{m\in \mathbb {N} }(z+z^{2})^{m}=\sum _{m,k\in \mathbb {N} }{m \choose k}z^{1+m+k}$ , où les coefficients binomiaux $m \choose k$ sont nuls pour $k > m$ ).

Le triangle de Pascal et la suite de Fibonacci :

Propriété : $\forall n\in \mathbb {N} ,~F_{n}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{n-1-k \choose k}$ (somme finie car les coefficients binomiaux ${n-1-k \choose k}$ sont nuls si $k < 0$ ou si $k > n - 1 - k$ ).

Cette propriété se déduit immédiatement de l'expression de la série génératrice (voir supra). On peut aussi la démontrer par une récurrence d'ordre 2 sur $n$ .

ce qui signifie que dans Cela signifie que, dans un triangle de Pascal, les nombres de Fibonacci s'obtiennent en sommant les termes situés sur une diagonale (du bas vers la droite)

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